２次判別分析をRでやってみた（スイス銀行紙幣②）
本記事では２次判別分析を用いてスイス銀行紙幣の分類を行います。
１．２次判別分析とは
２次判別分析（QDA, Quadratic Discriminant Analysis）は古典的な機械学習の手法の一つであり、前回の記事で解説した線形判別（LDA, Linear Discriminant Analysis）から派生したものになります。
統計ソフトRではMASSパッケージのqda関数を用いることで２次判別分析を簡単に行うことができます。
２．２次判別分析と線形判別分析の違い
線形判別分析には「全群団で分散が等しい」という前提を用いる弱点があります。一方で、２次判別分析では「群団間で分散が異なる」場合にも対応することができます。
前回の記事で取り上げているスイス銀行紙幣の例では、偽札群の分布の分散が真札群よりも大きく、裾が厚くなっていることから２次判別分析の利用が適していると考えられます。
３．２次判別分析の利用例
前回と同じスイス銀行紙幣のデータについて、２次判別分析を実行していきます。まずは、下部マージン（bottom）と対角線の長さ（diagonal）の２変数に絞って２次判別分析を行った結果を見てみます。
赤色で示した真札群よりも、緑色で示した偽札群の方が分散が大きいことを反映して、青線の通り凸型の識別境界を描くことができました。真札群と偽札群の重心と等高線を描くと下図の通りとなります。等高線の交わるところを識別境界が通っていることが確認できます。
４．２次判別分析の結果
データセットの全変数を用いて２次判別分析を実行した結果は次の通りです。
> table(test_qda$class,test_y)
test_y
| 真札 | 偽札 | |
|---|---|---|
| 真札 | 49 | 0 |
| 偽札 | 1 | 50 |
識別率は99％となり、線形判別と変わらない結果となりました。誤識別されたデータを調べてみます。
ピンク色で示された点が誤識別されたデータになります。真札に含まれる1件の外れ値に対応できなかったようです。
５．２次判別分析の長所・短所
線形判別、２次判別に共通する弱点として、データが正規分布に従うことを前提とする点が挙げられます。スイス銀行紙幣のデータでは各群団がまとまって分布していたため、非常に精度の高い結果を得ることができましたが、データが正規分布に従わず、一様に分布しているケースなどでは、狙い通りの境界を引けない危険性があります。
契約者から取得したデータを保険料率に織り込むことを考える場合、判別分析は汎化能力に優れ、かつ契約者の理解を得られやすいと考えられるものの、コストやプライバシーの観点からどの変数を取得・利用するかが論点になると予想されます。
６．関連記事・参考書籍・ソースコード
続編として、以下の記事を作成しました。
今回は下記の書籍を参考に執筆しています。
今回使用したソースコードは次の通りです。
線形判別分析をRでやってみた（スイス銀行紙幣①）
はじめまして。
当ブログでは小生の独学した内容（主に機械学習）などについて備忘録をかねてまとめていきたいと考えています。多分に誤りが含まれることが予想されますので、お含みおきください。また、先人の皆様にとっては稚拙な内容にはなりますが、至らぬ点についてはご指導頂ければ幸いです。
今回は線形判別分析を用いて、偽札と本物のお札（真札）の分類をやってみます。
１．使用するデータ
使用するデータとしては、次の論文で取りあげられているものを以下のサイトから孫引きします。
Flury, B. and Riedwyl, H. (1988). Multivariate Statistics, A Practical Approach, Cambridge University Press
http://mo161.soci.ous.ac.jp/@d/DoDStat/MethodsList/MultivariateAnalysis_allj.html
上記リンク先の「スイス銀行紙幣データ」を使用します。データの内容は下表のとおりとなっています。
| No | 変数名 | 変数ラベル | 説 明 | 型 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | length | 横幅長 | 紙幣の横の長さ | numerical |
| 2 | left | 左縦幅長 | 紙幣の縦の長さ(左側) | numerical |
| 3 | right | 右縦幅長 | 紙幣の縦の長さ(右側) | numerical |
| 4 | bottom | 下枠内長 |
紙幣の下端から内側の枠までの長さ(下部マージン) |
numerical |
| 5 | top | 上枠内長 |
紙幣の上端から内側の枠までの長さ(上部マージン） |
numerical |
| 6 | diagonal | 対角長 | 対角線の長さ | numerical |
| 7 | class | 真偽 | 札の真偽(0: 真札, 1:偽札) | categorical |
データの散布図を図示すると次のとおりになります。
赤色が真札、緑色が偽札を示しています。さて、このデータを基にスイス銀行紙幣の真偽を定量的に判別するにはどうしたらよいでしょうか？
２．線形判別分析とは？
今回取り上げるFisherの線形判別分析は、古典的な機械学習の手法の一つになります。統計ソフトRではMASSパッケージのlda関数を用いることで簡単に行うことができます。
線形判別分析は各群団の中心からの距離（マハラノビス距離）を基準に判別を行う手法です。
今回は線形判別分析を用いて、スイス銀行紙幣のデータを真札群と偽札群の2群に分類します。真札の平均からの距離と偽札の平均からの距離を比較して、距離が小さい方に判別を行います。
次の図は下部マージン（bottom）と対角線の長さ（diagonal）の2変数に絞った場合の線形判別を図示した例になります。
上図の黒線のとおり、識別境界を直線で描くことができました。なお、真札群と偽札群の分布の等高線を描いた場合、下図のとおりとなります。
３．線形判別分析の注意点
線形判別分析は次の２つの前提に基づいている点に注意が必要です。
①各群団が正規分布に従うこと
②全群団が同じ共分散行列を持つこと（等分散性）
②の等分散性を仮定することから、群団ごとの分布の裾の厚薄には対応できないことが線形判別の弱点です。上の散布図でも、真札群と偽札群の分布の等高線が同じ幅、同じ形になっており、等分散性の仮定を用いていることが分かります。
スイス銀行紙幣のデータについては、①の正規分布に従う仮定は問題なさそうですが、②の等分散性についてはやや難があるかもしれません。一般的には偽札の方が製造精度が低く、分散が大きいとが考えられるため、線形判別分析はフィットしづらいのではないかという予想のもと実行してみます。
４．線形判別分析の結果
200件のデータを100件ずつ学習用、テスト用に分けて実行したところ、テスト結果は次の通りとなりました。
> table(test_lda$class,test_y)
test_y
| 真札 | 偽札 | |
|---|---|---|
| 真札 | 49 | 0 |
| 偽札 | 1 | 50 |
等分散の前提に基づく線形判別分析でも、予想に反して判別率99%という良い結果が出ました。 １件だけ真札のデータを偽札であると誤識別してしまっているようです。
５．参考記事・書籍
続編として以下の記事を作成しました。二次判別分析や異常値検出の方法を取り上げています。
今回は下記の書籍を参考にしています。
６．ソースコード
今回使用したソースコードは次の通りです。
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運営者：Yuki
初出掲載：2019年6月10日
